هـنـدسـة الفر اكتال

هـنـدسـة الفر اكتال

وحدة الفر اكتال

تتضمن و حدة: هندسة الفر اكتال المكونات التالية:

1) أهداف الوحدة.

2) المتطلبات الرياضية السابقة اللازمة لدراسة الوحدة.

3) المفاهيم الأساسية للوحدة.

4) موضوعات الوحدة.

5) الأنشطة التدريسية والتعليمية.

6) الوسائل التعليمية.

7) أدوات ووسائل تقويم الوحدة.

8) مصادر التعلم ومراجع للوحدة.





أولاً: أهداف الوحدة:

بعد انتهاء الطالب من دراسة هذه الوحدة فيمكنه أن:

1) يكرر شكلاً هندسياً وفقاً لقاعدة رياضية محددة.

2) يرسم تكرارات لأشكال هندسية وفقاً لنمط رياضي.

3) يعبر بالدول عن تكرارات رياضية مختلفة.

4) يطبق الكرارات في موضوعات رياضية مختلفة.

5) يحدد خصائص الشكل الفراكتالي.

6) يكون فراكتالات وفقاً لتكرارات محددة.

7) ينشئ أشكالاً فراكتالية تقليدية مثل:

- مثلث سيربنسكي.

- منحنى كوسن.

- غبار كانتور.

- شجرة فيثاغورث.

8) يتذوق جماليات الرياضيات في الطبيعة.

9) يربط بين الرياضيات والعلوم الطبيعية الأخرى في خصائص الأشكال.

ثانياً: المتطلبات الرياضية اللازمة لدراسة وحدة: "الفراكتال":

المتطلبات الرياضية اللازمة لدراسة وحدة "هندسة الفراكتال" تتمثل في التالي:

1- مفاهيم العدد المركب والمستوى المركب.

2- المفاهيم المرتبطة بالدالة.

3- مهارات التقدير والتقريب.

4- الرسم الهندسي.

5- العلاقات الرياضية في نظرية فيثاغورث.

6- التماثل – التكبير – التصغير – التشابه – التناسب – النسبة المئوية.

7- النظام الإحداثي.

8- حل المعادلات والمتباينات، وكذلك الأسس.

ثالثاً: المفاهيم الأساسية للوحدة:

هندسة التكرارات.

التشابه الذاتي – التعرجات.

البعد الفراكتالي.

الفراكتال.

هندسة الفراكتال.

رابعاً: موضوعات الوحدة "هندسة الفراكتال":

1) التكرارات.

2) التكرارات الهندسية.

3) خواص الفراكتال.

4) هندسة الفراكتال التقليدية:

- مثلث سيربنسكي.

- منحنى كوش.

- غبار كانتور.

- شجرة فيثاغورث.

5) تطبيقات في هندسة الفراكتال:

- شجرة الفراكتال.

- فراكتال حرف H .

خامساً: الوسائل التعليمية المستخدمة:

1) مواقع تعليمية ترتبط بهندسة الفراكتال في الإنترنت:

1- www.ncsa.uiuc.edu/Edu/Fractal

2- www.math.bu.edu/DYSYS/FRACGEOM/

3- www.cms.dmu.ac.uk/IRC/FGDI.html

2) شرائح slides لأشكال فراكتالية من الطبيعة.

3) شفافيات مصورة من مراجع مختلفة.

سادساً: أدوات وأنشطة الوحدة:

1) اختبارات تحصيلية صغيرة quizzes لتطبيقات التكرارات في الرياضيات.

2) تعيينات بعمل أنشطة بحثية حول هندسة الفراكتالات.

سابعاً: مصادر ومراجع الوحدة: تعتمد الوحدة على المصادر التالية:

1) مواقع تعليمية ترتبط بهندسة الفراكتال في الإنترنت.

2) الكتابين التاليين:

1) Peitgen & Jurgens and Saupe (1992). Fractals for the classroom, part one: introduction to fractal and chaos, springer – verlag, New York, Inc.

2) Benshon and oters (1993). Gateways to Algebra and Geometry, An integrated approach, Mc Dougal, Littell & Company, New York.



نموذج درس

إنشاء أشجار فيثاغورث


الأهداف السلوكية:

1- أن ينشئ الطالب شجرة فيثاغورث الأساسية.

2- أن ينشئ الطالب شكلين مختلفين لشجرة فيثاغورث.

3- أن ينشئ الطالب شجرة الفراكتال.

4- أن يدرك الطالب العلاقات الرياضية المتضمنة في شجرة فيثاغورث.

5- أن يستنتج الطالب خواص الفراكتال مثل التشابه الذاتي في شجرة فيثاغورث.

المتطلبات السابقة:

تعرف نظرية فيثاغورث – تمثيل الأعداد الحقيقية على خط الأعداد.

تنظيم الطلاب:

كل خمسة طلاب يشاركون معاً في مناقشة وإنشاء شجرة فيثاغورث.

عرض الدرس:

1) يتم توزيع بطاقات العمل على المجموعات حيث تقدم لهم كل التعليمات الخاصة بإنشاء شجرة الفراكتال.

2) يطلب من الطلاب العمل والتواصل إلى النتائج.

3) يساعد المعلم كل مجموعة في توضيح ما يقابلهم من صعوبات أثناء العمل.

4) يقوم المعلم أداء الطلاب من خلال إعطائهم فرص تبادل نتائج المجموعات مع بعضهم ومقارنة ما توصلوا إليه.

المحتوى التعليمي:

من المعروف لدينا أنه في المثلث القائم الزاوية تكون مساحة المربع المنشأ على الوتر مساوية لمجموع مساحة المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين وفقاً لنظرية فيثاغورث، ويمكن التعبير عن ذلك جبرياً إذا كان طول الوتر هو ج وطولي الضلعين الآخرين هما أ، ب فإن: أ2 + ب2 = ج2.



أولاً: إنشاء لولب الجذر التربيعي:

يمكننا إنشاء ( ) لأي عدد وهو ما يكون ما يسمى لولب الجذر التربيعي كما في الشكل (1):

 


شكل(1):لولب الجذر التربيعي

- ابدأ بمثلث قائم الزاوية طول ضلعي القائمة هو 1. سيكون الوتر ( ).

- استمر في إنشاء مثلث قائم آخر بحيث يكون طولي ضلعي القائمة هما (1، حيث هو وتر المثلث السابق). سيكون طول الوتر لهذا المثلث هو ( ).

- وهكذا كرر العمل السابق.

ثانياً: إنشاء شجرة فيثاغورث:

إن إنشاء الشجرة الأساسية لفيثاغورث سوف يتم تماماً كما أنشأنا لولب الجذر التربيعي وستكون الخطوات كما ستظهر في شكل (2):

1- ارسم مربع.

2- ارسم مثلث قائم على واحد من أضلاعه بحيث يكون الوتر هو ضلع المربع.

3- ارسم مربعين على الضلعين الآخرين للمثلث.

4- ارسم مثلثين قائمين.

5- ارسم 4 مربعات.

6- ارسم 4 مثلثات قائمة.

7- ارسم 8 مربعات.

عندما نكون ذلك ونفهم هذه الخطوات فإنه من السهل علينا تكوين وتعديل الإنشاءات بطرق مختلفة، فمثلاً المثلثات القائمة التي ننشأها قد لا تحتاج أن تكون متساوية الساقين، بل أنها يمكن أن تكون لأي مثلث قائم، والمثلثات القائمة يمكن دوماً إنشاؤها في نفس الاتجاه، أو يمكننا توجيهها في اتجاه آخر بعد كل خطوة وشكل (3) يوضح هذه الإنشاءات:



 
شكل(3) شجرة فيثاغورث شكل(4) اتجاهات شجرة فيثاغورث



- تأمل شكل (4)

إن المكون الأساسي في كلا الشكلين أن المثلثات المنشأة هي نفسها مع تغيير اتجاه التكرارات.

فهل فكرت في أن الشكلين يمكن أن يكونا من نفس المصدر ؟

أتبدو تلك الأشكال وكأنها من عائلتين مختلفتين من النظرة الأولى لها ؟ إنها ليست كذلك ولكنها قريبة جداً من بعضها وهذه هي قيمة الفراكتالات التي تساعدنا في تقديم أدوات جديدة في علم النبات مثلاً.

ثالثاً: إنشاء شجرة الفراكتال:

لرسم شجرة الفراكتال يمكن اتباع الخطوات التالية:

1) ابدأ برسم جذع الشجرة ثم رسم فرعين.

ارسم فرعين على كل من الفرعين السابقين واستمر كما بالشكل (5).

- طول الفرع الجديد الفردي =

- الطول الكلي للفرع = ن + 1 حيث ن عدد الخطوات.



شكل (5)

شجرة فيثاغورث

2) إذا أخذت قطعة صغيرة من أي فرع وكبرته سوف يكون بالضبط هو الشجرة الأصلية وتذكر أن العمل النموذجي هنا هو أن تستمر هذه العملية إلى ما لا نهاية.

3) الشجرة كاملة يمكن رؤيتها كفرع واحد من الشجرة الكبيرة، ويمكنك تصغيرها.

4) حاول أن تنشئ شجرة فراكتال جديدة وفقاً للخطوات السابقة مع تغيير قاعدة التكرار.

بحيث يكون كل مجموعة تتكرر جديدة تضاف هي نصف طول المجموعة السابقة لها.

فلتحاول إيجاد صيغة عامة حيث غالباً ترتبط الفراكتالات بالدوال الأسية:

- عدد الأفرع الجديدة = 2

- العدد الكلي للفروع =

- طول الفرع الجديد الفردي =

- الطول الكلي للفرع = ن + 1 حيث ن هي عدد الخطوات


رابعاً: نشاط إضافي إثرائي:

اطلب من التلاميذ الذين أنهوا إنشاءاتهم القيام بالتالي:

- عمل شجرة فراكتال بحيث تكون فروعها مختلفة، ربما إلى ثلاثة فروع عند كل خطوة بالتبادل فرعين، وثلاثة أوب عض القواعد الأخرى.

- اكتب صور عامة لعدد الفروع الجديدة والعدد الكلي للفروع.



توصيات:

في نهاية العرض السابق لمكونات هندسة الفراكتال كأحد أبعاد الرياضيات المدرسية ، فالباحث يوصي بالتالي:

1- القاء مزيد من الضوء على هذا الجانب من الخبرات الرياضية التي تقدم بيئة رياضية جيدة لاستثارة تفكير الطلاب نحو طبيعة علم الرياضيات وارتباطاته وذلك بمزيد من البحوث في هذا الاتجاه.

2- تضمين بعض من الأنشطة الثرية لهندسة الفراكتال في مناهج الرياضيات بالتعليم الأساسي.

3- ربط الرياضيات بالفنون والطبيعة وذلك من خلال عمل مشروعات طلابية تستند الى أسس هندسة الفراكتال.

4- تقديم وحدة تعريفية بهندسة الفراكتال في مناهج الرياضيات بالحلقتين الأولى والثانية من التعليم الأساسي.

المراجع

- أبو علوان، رضا (2001). فعالية وحدة مقترحة في هندسة الفراكتال لطلاب الرياضيات بكلية التربية، دراسات في المناهج وطرق التدريس، العدد 72، أغسطس.

- عبيد، وليم (1998). رياضيات مجتمعية لمواجهة تحديات مستقبلية مع بداية القرن الحادي والعشرين، تربويات الرياضيات – المجلد الأول – ديسمبر 1998 – ص3-8.

Barnsley, Michael (1998). Fractals Everywhere, Academic press, INC. USA.

Benson, John and others (1993). Gateways to Algebra and Geometry: An integrated approach, Mc Dougal, Littll & Company, New York.

Camp, Dan R. (1999). A Cultural history of Fractal Geometry: The biography of an idea, ph. D, Loyola University of Chicago, AAC 9917760, D.A.

Camp, Dan R. (2000). Benoit Mandelbort: The Euclid of Fractal Geometry, Mathematics Teachers, V93, N8, November 2000, and pp. 708-712.

Clap ham, Christopher (1996). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Second Edition, Oxford University Press.

Chilly A.J. and others (1991). Fractals and Chaos, Springer-Verlage, New York, Inc.

Egnatoff, William J. (1991). Fractal Explorations in Secondary Mathematics, Science and Computer science, Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, V10, N2, pp. 21-42, win 1990-91.

Glerick, James (1987).Chaose, New York: Penguin Books.

Gray, Shirley B. (1992). Fractal Math, Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching 11, N1, pp. 31-38, 1992.

Langille, Michael (1997). Students’ Sense making of Fractal Geometry, Msc, Simon Fraser University, (Canada), AAC MM16962, D.A.

McGuirem Michael (1991). An Eye for Fractals: A Graphic and Photographic Essay. Redwood City, Calif: Addison-Wesley publishing Co., 1991.

McKee, Riva (1997). Students Making Connections through Interactions with Fractal Geometry Activities, MED, Memorial University of New foundation (Canada), AAC MM17623, D.A.

Naylor, Michael (1999). Exploring Fractals in the Classroom, Mathematics Teacher, V. 92, N.4, April 1999, pp. 360-364.

Peitgen, Herinz-Otto and Others (1992). Fractals for the Classroom: Strategic Activities. Vol. 1, New York: Springer – Verlag and Reston, VA: NCTM

Randi, L. & Westerberg, Judy (1999). Fractals in high school: Exploring a New Geometry, Mathematics Teachers V. 92, N3, March 1999, pp. 260-265.

Vacc, -Nancy-Nesbitt (1992). Fractal Geometry in Elementary School Mathematics, Journal of Mathematical Behavior, V11, N3, pp. 279-289, sept 1992.